Estadisticas II

                                                            

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.

“Una expresión algebraica es el resultado de aplicar las cuatro operaciones fundamentales a las variables y las constantes” (Rees, Sparks & Sparks, 1991, p. 35)

Así, x+2 es una expresión algebraica formada por la letra x, el signo + y el número 2. Esta expresión algebraica puede leerse como un número más dos.

 Para escribir una expresión algebraica debes tener en cuenta que puedes sustituir el signo x de la multiplicación por el signo · o bien puedes suprimirlo

y también que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1.

Leyes de los signos y de los Exponentes

Para poder realizar operaciones con polinomios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, es necesario conocer las reglas que las rigen, por lo que daremos un repaso de las leyes de los signos.

Las leyes de los signos para la suma y resta:

“Si se tienen dos o más números reales del mismo signo, se suman sus valores absolutos y en el resultado, se escribe el signo común de dichos números” (Cuéllar, 2008, p. 7).	Signos diferentes se restan y se escribe el resultado con el signo del número mayor. (Cuéllar, 2008).
+ + = + - - = + Ejemplos: +3 + 4 = +7 −3 − 4 = −7	+ - = Signo del número mayor - + = Signo del número mayor Ejemplos: +3 − 4 = −1 −3 + 4 = +1

Las leyes de los signos para la multiplicación son:

“Si se multiplican dos números reales con signos iguales, el producto es un número real positivo” (Cuéllar, 2008, p. 12)	“Si se multiplican dos números reales con signos diferentes, el producto es un número real negativo” (Cuéllar, 2008, p. 12).
(+)(+) = + (-)(-) = + Ejemplos: +3 +4 = +12 −3 −4 = 12	(-)(+) = -  (+)(-) = - Ejemplos: −3 +4 = −12 +3 −4 = −12

Las leyes de los signos para la división son

“Si dividen dos números reales con el mismo signo, el cociente tendrá signo positivo” (Cuéllar, 2008, p. 13).	“Si se dividen dos números reales con signo diferente, el signo del cociente será negativo” (Cuéllar, 2008, p. 13).
+ / + = + - / - = + Ejemplos: 6 / 2 = 3 −25 / −5 = 5	- / + = - + / - = - Ejemplos: −12 / 2 = −6 100 / −10 = −10

Expresiones Algebraicas

Tipos de Expresiones Algebraicas

Monomios y Polinomio

Las expresiones algebraicas que están formadas sólo por la multiplicación de números, letras o números y letras se llaman monomios.

En cada monomio hay una parte numérica que llamamos coeficiente, y una parte expresada con letras que se llama parte literal. Cada una de las letras de un monomio se denomina variable. La suma de los exponentes de las variables que forman la parte literal es el grado del monomio.

Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes.

Por ejemplo:

Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes llamados términos. El grado de un polinomio es el mayor grado de los monomios que lo forman.

Operaciones con Monomios

Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Es importante conocer cómo se realizan las operaciones con ellos.

Suma y Resta de Monomios

Dos monomios sólo se pueden sumar o restar si tienen la misma parte literal, es decir, deben ser semejantes. Para obtener el resultado se suman o restan los coeficientes y se mantiene igual la parte literal.

Ejemplos:

Puede darse el caso de que los coeficientes sean fracciones. La suma entre los coeficientes tendrá que realizarse como una suma de fracciones.

Multiplicación y División de Monomios

Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que las partes literales sean iguales. El resultado en estos casos siempre va a ser un monomio.

La multiplicación se realiza de la siguiente manera:

1. Se multiplican entre sí los coeficientes teniendo en cuenta los signos de los mismos.

2. Para obtener la parte literal, se multiplican las partes literales de los monomios.

Operaciones con:

a) Monomio y monomio.

b) Monomio y polinomio.

c) Polinomio y polinomio.

Para realizar la división, los pasos a seguir son:

1. Se dividen entre sí los coeficientes teniendo en cuenta su signo.

2. Para obtener la parte literal, se dividen las partes literales de los monomios, teniendo en cuenta cómo se realizan las operaciones con potencias.

División de polinomios

Para realizar una división de polinomios debes aplicar las siguientes leyes (Cuellar, 2008):

• Las leyes de los signos.

• Las leyes de los exponentes.

La ley de los exponentes aplicable en el caso de la división es:

Las leyes las tendrás que aplicar para los tres diferentes tipos de división:

División de un Monomio por un Polinomio

Para explicarte como se hace una división de un polinomio entre un polinomio utilizaremos el Siguiente ejemplo:

Esta división también la podemos representar de la siguiente forma:

Primero. Se ordenan el dividendo y el divisor con respecto al grado de los exponentes (de mayor a menor) de una misma letra (en este caso con respecto a la x).

Segundo. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, así obtienes el primer término del cociente: 

Tercero. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor:

El producto obtenido se resta al dividendo (cada término y se escribe alineado con los términos semejantes del dividendo). Al resultado de esta resta lo llamaremos dividendo parcial.

Cuarto. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente:

Quinto. El segundo término del cociente se multiplica por el divisor:

El producto así obtenido se resta del dividendo parcial (recuerda cambiarle todos los signos).

Sexto. Si es necesario, se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como residuo.

Casos de Factorización

Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. Esto significa que factorizar es convertir una expresión en el producto indicado de sus factores.

En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. Los tipos de factorización más utilizados se exponen a continuación.

Monomio como Factor común

Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, se escogen las que tengan el menor exponente.

Polinomio como Factor común

En una expresión, cuando el máximo común divisor (MCD) de todos los términos es un polinomio  entonces se puede descomponer como el producto de este factor común por un polinomio cuyo resultado sea la expresión original, tal y como se muestra a continuación.

Factorización por agrupación de términos

Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común. En esos casos, se debe factorizar por agrupación, procedimiento que combina los dos métodos anteriores.

Ejemplos.

Factorizar los siguientes polinomios:

Factorizacion de trinomio Cuadrado Perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el cuadrado de otra cantidad.

Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio:

Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y que el otro término corresponda al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos.

Ejemplos. 

Determinar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos, se separan por el signo que tiene el término que no lo es y finalmente se eleva el binomio al cuadrado.

Factorización de una diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados:

Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado.

Ejemplos.

Factorizar las siguientes expresiones: 

Factorizacion de un trinomio de la forma 

Factorizacion de un trinomio de la forma